丘成桐

中國數學的喜與憂

在漢朝，中國數學家已經開始研究如何去解方程式，包括計算立方根，到宋朝時，已經可以解多次方程，比西方早幾百年，但解決的方法是數字解，對方程的結構沒有深入的了解。

一個最簡單的問題就是解二次方程：

X2+1=0

事實上，無論X是任何實數，方程的左邊總是大于零，所以這個方程式沒有實數的解，因此中國古代數學家不去討論這個方程式。

大約在四百多年前，西方數學家開始注意這個方程，文藝復興后的意大利數學家發現它跟解三次和四次方程有關。他們知道上述二次方程沒有實數解，就假設它還是有解，將這個想象中的解叫作虛數。

虛數的發現很了不起！有了虛數后，西方學者發現所有多項式都有解，而且解的數目剛好是多項式的次數。所以有了虛數后，多項式的理論才成為完美的理論。

完美的數學理論很快就得到無窮的應用。事實上，后來物理學家和工程學家發現虛數是用來解釋所有波動現象最佳的方法，這包括音樂、流體和量子力學里面波動力學的種種現象。數論研究對象的重要部分是整數，但為了研究整數，我們不能避免地要大量用到復數的理論來幫忙。

在19世紀初葉，柯西和黎曼開始了復變函數的研究，將我們的眼界由一維推廣到二維，改變了現代數學的發展。黎曼又引入了Zeta函數，發現了復函數的解析性質可以給出整數中的質數（prime number）的基本性質。另一方面，他也因此開發了高維拓撲這個學科。由于復數的成功，數學家企圖將它推廣，制造新的數域，但很快就發現除非放棄一些條件，否則那是不可能的。但是哈密爾頓（William Rowan Hamilton）和凱利（Arthur Cayley）先生卻在放棄復數域中某些性質后，引進四元數（quarterion）和八元數（Cayley numbers）這兩個新的數域。這些新的數域影響了狄拉克（Paul Dirac）在量子力學的構想，創造了狄拉克方程。從這里可以看到數學家和物理學家為了追求完美化而得到重要的結果。

愛因斯坦創造廣義相對論時，人類觀察到的宇宙空間實在不大，他卻得到數學家的大力幫助。在愛因斯坦完成廣義相對論后，外爾和很多科學家開始融合引力場理論和電磁場理論，外爾率先提出規范場的理論，經過十年的掙扎，才將麥克斯韋的電磁理論看作和廣義相對論類似的規范場論，在物理學上，這是一個偉大的突破。二十多年以后，泡利（Wolfgang Pauli）、楊振寧和米爾斯將規范群推廣到非交換群后，完成了一般的規范場理論，成為近代物理學標準模型的基礎。

有趣的是，外爾說：假如理論和見到的現象有沖突，而這個理論漂亮而簡潔的時候，我寧愿相信理論。這個看法對規范場理論的發展有很大的幫助。在這里，我們又看到了文學家和科學家類似的地方。

將一個問題或現象完美化，然后，將完美化后的結果應用到新的數學理論，來解釋新的現象，這是數學家的慣用手法，與文學家有很多相似的地方，只不過文學家用這種手法來表達他們的感情罷了。

在中國古代，很多傳說都是憑想象力，根據已知知識夸大地描述很多無法證明的事情。文學家為了欣賞現象或者舒解情懷而夸大，而完美化，但數學家卻為了了解現象而構建完美的背景。有些時候，數學家花了幾千頁紙的理論將一些模糊不清的具體現象用極度抽象的方法去統一、描述、解釋。

這是值得驚喜的事：近代數學家在數學不同的分支取得巨大的成果，與文學家的手段極為類似。所以好的數學家最好有人文的訓練，從變化多姿的人生和大自然中得到靈感來將科學和數學完美化，而不是禁錮自己的腳步和眼光，只跟著前人的著作，做少量的改進，就以為自己是一個大學者。

我們需要培養一些能望盡天涯路，又能衣帶漸寬終不悔的學者，這需要濃郁的文化和感情的背景。中國數學家太注重應用，不在乎數學嚴格的推導，更不在乎數學的完美化。因此至明清時，中國數學家實在無法跟文藝復興的數學家相比。直到如今，除了少數兩三個大師外，中國數學家走的研究道路基本上還是蕭規曹隨。在創新的路上提不起勇氣，不敢走前人沒有走過的路。這一點與中國近幾十年來文藝教育不充足，對數理感情的培養不夠有關。

到今天，中國的理論科學家在原創性還是比不上世界最先進的水平，我想一個重要的原因是我們的科學家在人文的修養還是不夠，對自然界的真和美感情不夠豐富。

我們中華民族是一個富有感情和富有深度的民族。上述的文學家、詩人、小說家的作品，并不落后于世界！但是，我們的科學家對人文的修養卻不大注意，一些管理教育的官員們卻有很奇怪的教育政策，他們似乎認為語文和歷史的教育并不重要，轉而用一些淺顯而沒有深度的通識教育來代替這些重要的學問，大概他們以為國外注重通識教育的緣故吧。這種做法其實是舍本逐末。

坦白說，我還沒有看到過一個有水平的國家和城市不反復地去教導國民們本國或本地的歷史。我兩個孩子在美國一個小鎮讀書。他們在小學、中學，將美國三百年的事情念得滾瓜爛熟！因為這是美國文化的基礎。我敢說，不懂或是不熟習歷史的國民，必定會認為自己是無根的一代。一般來說，文化的根基比較膚淺的人容易受愚弄和誤導，因為他們看不清楚事情的前因后果。

史為明鏡，它不單指出古代偉人成功和失敗的原因，它也將千年來我們祖先留下來的感情傳給我們，我們為秦皇漢武，唐宗宋祖創下的豐功偉績感到驕傲，為他們的子孫走錯的路而感嘆！中國五千年豐富的文化使我們充滿自信心！我們為什么不好好地利用我們祖先留給我們的遺產？

或許有人說，我不想做大科學家，所以不用這樣學。其實這并不矛盾。當一個年輕人對自己要學習的學問懷有濃厚的感情后，學習任何學問都會變得輕而易舉。至于數學和語文并重，在先進國家一向是理所當然的。美國比較好的大學招生時，都注重看待SAT中語文和數學部分。

除了考試以外，美國好的中學也鼓勵孩子多元化，盡量涉獵包括人文和數理的科目。美國有很多高質量的科普雜志，銷量往往都在百萬本以上。而中國好的科普雜志不多，銷量也少得可憐，從這一點，就可以看到中西文化的差異，希望在未來能夠漸漸改進。

最后要指出，數理人文和所謂博雅教育（Liberal education）有著莫大關系。博雅教育的目標廣闊，既著眼于基礎知識、鑒古知今、推理分析，又能培養學生在藝術上的創造性，兼且對科學的概念和實驗的精準性有所了解，同時也強調因材施教，反對重復不斷的操練，防止出現過早學科化和專業化的潮流。

以培養專業人才為目標是許多名校的優良傳統，但這絕非哈佛大學的使命。哈佛學子在專注于某門學問的同時，學校更希望他們成為一個事事關心、善于分析和獨立思考的人，畢業后有志貢獻于社會，并不斷學習。

美國名校的教育使得不少的學者跨越不同的領域而得到極大的成就。有些學生在本科時讀英文系，畢業后卻可以成功地創立高科技公司。當代數學物理有極為杰出成就的威騰（Edward Witten）教授在本科時念歷史。這些例子在美國名校不勝枚舉，但在華人社會卻不多見。這應當歸功于美國博雅教育的結果，也就是數理人文并重的結果。

中國的教育始終離不開科舉的陰影，以考試取士，系統化的出題目，學生們對學問的興趣集中在解題上，科研的精神仍是學徒制，很難看到尋找真理的樂趣。西方博雅教育的精神確實能開闊我們的視野，激勵我們的感情，更能夠培養大學問的成長。我寫過一本叫作《大宇之形》的科普書，有些物理系教授也用來作為通識課本。多讀多看課本以外的書，對我們做學問，為人處世都會有大幫助。

好的文學詩詞發自作者內心，而將人與人的關系、人對自然界的感受生動呈現出來。激情處，可以驚天地泣鬼神，而至于萬古長存不朽不滅！偉大的科學家不也是同樣地要找到自然界的真實和它永恒的美麗嗎？

人物簡介

丘成桐，當代數學大師，現任哈佛大學講座教授，1971年師從陳省身在加州大學伯克利分校獲得博士學位。發展了強有力的偏微分方程技巧，使得微分幾何學產生了深刻的變革。解決了卡拉比（Calabi） 猜想、正質量猜想等眾多難題，影響遍及理論物理和幾乎所有核心數學分支。年僅33歲就獲得代表數學界最高榮譽的菲爾茲獎（1982），此后獲得MacArthur天才獎（1985）、瑞典皇家科學院Crafoord獎（1994）、美國國家科學獎（1997）、沃爾夫獎（2010）等眾多大獎。現為美國科學院院士、中國科學院和俄羅斯科學院的外籍院士。

（本報記者陳鵬整理，本文內容與高等教育出版社出版的《數學的藝術》內容有重合，已得到作者認同）