在江蘇南通出生長大的范金燕從小就對數學很感興趣,讀書時她發現自己對數字很敏感,參加過幾次數學競賽都獲了獎。“那時候覺得解數學題就像偵探破案一樣,從手頭的線索一步步推導、離正確答案越來越近,這種感覺真的很棒。” 

因為興趣濃厚,范金燕在填寫高考志愿時,毫不猶豫地選擇了數學專業,本科成績也一直遙遙領先。 

真正讓范金燕對非線性最優化的理論和方法產生濃厚興趣的,是她在中科院的導師。“我的導師很擅長把抽象復雜的數學問題講得透徹又有趣,比如他說Gauss-Newton法是一個很‘值錢’的方法,因為Carl Friedrich Gauss(1777-1855)和IssacNewton(1642-1727)兩個人都上過他們所在國的貨幣。比如盲人爬山時,利用拐杖感知山坡的坡度,沿著山坡最陡的方向爬,其實就是最速下降法,利用最速下降方向求函數極小。” 

這些看似復雜的東西背后或許是最簡單直白的道理,如果能耐得住寂寞等到撥云見日的那一刻,也許瞬間就明白了,范金燕說。 

平日里,范金燕是個急性子,說話快、走路快、辦事快,可一但沉浸到數學中,她日常的急性子便自動收斂,取而代之的是無限的耐性和沉靜的思考,為解決一個數學問題,她可以苦思冥想,有時連吃飯、睡覺、走路都在腦子里“寫”著各種方程式。 

周圍的世界很復雜,可是再復雜的問題也有一定的“套路”,化繁為簡、舉重若輕,這便是數學的“魔力”。對于范金燕來說, 游走在復雜的世界里,數學就是她的精神家園。

范金燕的研究領域看似抽象,實際在化學、航空、電力系統、經濟規劃等領域都有廣泛的應用。“我們平時用電都離不開電網,潮流計算是電力系統最基本的計算。在數學上,它就歸結為求解非線性方程組。現在,電力系統的規模越來越大,如果重負荷或者網絡參數配置不合理,潮流就有可能出現病態。我們研究的方法

能夠很快很好地處理病態潮流,計算結果可以幫助運行調度人員了解電網的實際運行狀況,以對電網參數或運行控制量進行調整。” 

除了電網以外,范金燕的課題組提出的方法還被成功應用于無線傳感器網絡中基站的安置和再定位、以及神經網絡等方面。 

這些都是“最優化”問題,是現代“運籌學”要解決的問題。運籌學是一門年輕的學科,但它運用數學的方法來刻畫、分析或求解現實問題的做法自古就有。漢高祖劉邦曾用“運籌帷幄之中,決勝千里之外”稱贊麾下的智囊張良。 

除了能在沙場上克敵制勝,中國古代的“田忌賽馬”等生動故事也是運籌學思想的體現。現代科學與工程領域中的許多問題比田忌賽馬復雜得多,但它們其實有著相似的數學本質,也都可以轉化為運籌學中的“非線性優化問題”。由此,“非線性優化”領域的發展,同時也將能推動數學以外的多個學科、技術取得新突破。 

實際上,非線性優化的各種算法,大都有自己特定的適用范圍。“比如求解非線性方程組的最經典方法‘牛頓法’,它最大的優點是計算速度快,但它也有缺點,就是只能處理‘好條件’問題,即非奇異問題、導數矩陣可逆問題。但現實中的很多問題,比如化學或電氣工程、電路系統中的‘壞條件’問題,就不適合利用牛頓法求解。” 

Levenberg-Marquardt(LM)方法也是非線性方程組的重要方法。范金燕與合作者提出,適當選取LM參數,該方法在“壞條件”下也能獲得二階收斂速度——這無疑是LM方法在理論上的重要進展。 

范金燕說:“LM方法的主要優點就是穩定性,我們現在能讓它算得又快又好。” 

此外,范金燕與合作者還提出了求解非線性方程組的信賴域半徑趨于零的信賴域算法。相對于傳統的“信賴域半徑都大于零”的信賴域算法,新算法處理“壞條件”問題時,更有效,并且在“壞條件”下還有漸進二階收斂速度。 

除了非線性方程組的數值解法研究,范金燕還在“完全正優化”研究上取得了突破性進展。組合優化領域中有許多問題是完全正優化問題,求解往往很困難。因此,研究者通常只能用“近似”的方法——但“近似”只能提供原問題的近似解和最優值的一個界,并不是“最優解和最優值”。范金燕與合作者通過線性矩陣不等式構造的“半正定松弛等級算法”,打破了原有的局面,獲取了全局最優解和最優值。 

范金燕的研究成果,引起了國際數學規劃領域同行的關注和引用,還被國內外工程界專家應用于無線通訊、自動控制等實際領域。不過她覺得自己的領域還有比目前“更優的結果”——她準備將自己熟悉的“非線性方程組”與“多項式優化”結合起來:“它們之間的橋梁是‘多項式方程組’。 現有的方程組的解法,一般只求一個解。我們準備利用‘多項式優化’的技術方法,當多項式方程組的實數解個數有限時,把它們全部求出來。”